文章来源：互联网整理作者：招财猫手游网发布时间：2023-10-26 15:31:48
今天我们讨论了最基本的问题之一：进入。
我们平时使用的自然数是小数，计算机使用二进制运算，使用二进制是因为电子元件只能以高低电压的两种状态组合和计算，所以决定了二进制可以成为现代计算机的基础。
为了方便表示，人们还经常会使用八进制和十六进制来记录二进制数。关于数的进位制，例如N位制，常见的一种观点是，低位满N，就向高位进一。除了这种理解之外，我们这里再讨论一种更有用的理解。那就是将数字的每一位赋予一个权重，一个数字的真实值就是每一位上的数字乘以这一位所对应的权重，然后再加起来。例如，对于一个十进制数，个数的权重是1 = 10^0，十位的权重是10^1，百位的权重是10^2，依次类推，那么，一个十进制数1368就可以表示为同样，一个二进制数可以表达为
这个分解式看wwW.MuwuyA.CO+M起来很简单，但意义却很重大，这使得我们从“满几进一”的思维中跳出来，可以重新定义每个位的权重。比如在普通的十进制数中，十位的权重是10，百位的权重是100，但是，我们可以根据需要，规定十位是十进制，百位是八进制的，也就是说，十位的权重仍然是10，百位的权重变成了8∗10 = 80。(这句话务必看明白，我们创造了新的混合进制数。在后面的文章里我会介绍递增进位制，这种进位制的每一位都不相同，但它却是编码状态，进行组合计数等等的基础，如果不理解进位制的话，那么这种技巧在你看来可能就是很难想到的淫巧奇技，但是在进制分析法面前，这种技巧毫无秘密可言。）
计算机中数字的表示
计算机中是如何表示一个整数的，一个负数呢？一个浮点数呢？搞清楚这个问题有多重要，我来举个例子。曾经有一位网络游戏的服务端同学，在写角色身上的金钱的时候，使用了int型，但在程序的其他地方，却又使用了unsign int来存储，更不幸的是，在扣玩家身上的金钱的地方，又出现了并发的情况，导致金钱会出现负数。一个整型负数，转成无符号整型的时候，悲剧就发生了：玩家变得巨有钱。一个刷金的BUG就这样产生了。要搞明白这个问题，就得先搞明白，在计算机中，每个数是怎么表示的。还有，比如，这样一个BUG，有一次，我发现从网络接收的数据不对，只好把接到的数字一个字节一个字节地去分析，最后发现，发送方发送了一个浮点型，而接受方却是以整型去解释的。那么浮点型的1.0和整数的1到底有什么不同呢？（这还是原始时代的BUG，感谢protobuf，netty，我们再也不用担心应用层网络消息的格式了。）
我们都知道Java中的byte类型是一个字节，8位，short是两个字节，16位，int是四个字节，32位，long是8字节，64位。为了方便描述，我们以byte为例，一个字节，8位能表达的范围是从(00000000)2 ~ (11111111)2，转成十进制，就是从0到255。但书上告诉我们，byte能表达的范围是-128~127。这就牵扯到了负数的表达了。在计算机里，对于有符号的数据类型，会把最高位做为符号位，如果为1，则为负数。我们可以测试一下。
int i = 1;A((a << 30) > 0);A((a << 31) < 0);A((a << 31), In);看，如果我们把1左移31位，也就是送到了最高位上，这个数就变成了int型所能表示的最小值了。
由于32位整数写起来太罗嗦了，我们先只以byte的情况进行分析。负数通常有三种表示方法。第一种，把符号位设为1，后面的数字等于这个负数的绝对值，例如-15就变成了10001111。这种方法称为原码。还有一种，保持符号位不变，后面的数字全部取反，例如-15就变成了11110000,这种方法称为反码。最后一种，称为补码，它是由反码加1得到的。例如，-1的反码是11111110，再加1就是11111111。使用补码的好处包括，0和-0的表示是相同的，正负数可以直接进行加减法运算，不必再做额外的转换。而原码和反码则不具备这样的优点。所以现代计算机都是使用补码来表示负数。
递增进位制数
递增进位制数是这样一种数，它的最右一位(称为个位已经不太准确了，我们使用左右来代替个位十位的称呼)是二进制的，它的右数第二位是三进制的，右数第三位是四进制的 ……它的右数第N是N + 1进制的。用权重的观点来看，它的最右一位的权重是1，右数第二位的权重是1∗2 = 2!，右数第三位的权重是1∗2∗3 = 3!，右数第N的权重是N!。 我们也用上面的方法来表示递增进位制数：
递增进位制数的最常见的一个作用就是用来编码全排列。通过递增进位制数，我们可以建立N个元素的全排列与自然数[1,N!]的一一对应关系。在下一节，生成全排列那里，我们会进行详细地讲解。
好了，看完上面的内容，可以尝试实现下下面的题目：
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